Máximos y mínimos con derivadas: optimización paso a paso
Ya vimos para qué sirven las derivadas y cómo calcularlas con las reglas de derivación. Ahora llega la aplicación que justifica todo el esfuerzo: hallar máximos y mínimos con derivadas. Es el tema de la última unidad del programa de Cálculo 1A (crecimiento y decrecimiento, problemas de optimización, funciones marginales y elasticidad) y del comienzo del programa de Cálculo 1 (MC10). En esta guía vemos la teoría en el orden en que se usa y la cerramos con tres problemas de optimización resueltos.
Crecimiento y decrecimiento: el signo de la derivada
La derivada es la pendiente de la recta tangente, así que su signo dice hacia dónde va la función. El resultado formal, que se demuestra a partir del teorema del valor medio de Lagrange, es este: si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces
- f′(x) > 0 en todo (a, b) → f es estrictamente creciente en [a, b];
- f′(x) < 0 en todo (a, b) → f es estrictamente decreciente en [a, b];
- f′(x) = 0 en todo (a, b) → f es constante en [a, b].
Para aplicarlo se estudia el signo de f′. Tomemos f(x) = x³ − 9x² + 24x. Su derivada es f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3(x − 2)(x − 4), que se anula en x = 2 y en x = 4. Entre esas raíces el signo no cambia, así que alcanza con evaluar un punto de cada tramo:
| Intervalo | Signo de f′ | f |
|---|---|---|
| x < 2 | f′(0) = 24 > 0 | crece |
| 2 < x < 4 | f′(3) = −3 < 0 | decrece |
| x > 4 | f′(5) = 9 > 0 | crece |
La función sube hasta x = 2, baja hasta x = 4 y vuelve a subir.
Puntos críticos: dónde buscar máximos y mínimos con derivadas
Un máximo relativo (o local) es un punto donde la función vale al menos tanto como en todos los puntos cercanos (f(c) ≥ f(x) para los x próximos a c); un mínimo relativo, donde vale a lo sumo lo mismo (f(c) ≤ f(x)). Si además es el mayor (o el menor) valor en todo el conjunto que estamos mirando, es un máximo o mínimo absoluto.
Si f tiene un extremo relativo en un punto interior c y es derivable ahí, entonces f′(c) = 0: la tangente es horizontal. Pero una función también puede tener un extremo donde no es derivable: |x| tiene un mínimo en x = 0, y en ese punto no hay derivada.
Por eso los candidatos se llaman puntos críticos: los puntos interiores del dominio donde f′ vale cero o no existe. Ser punto crítico es una condición necesaria, no suficiente: en f(x) = x³, f′(0) = 0 y no hay extremo, porque la función crece a ambos lados de 0. Para decidir qué hay en cada candidato están los dos criterios que siguen.
Criterio de la primera derivada
Es el estudio de signo de recién, mirado alrededor de cada punto crítico c:
- si f′ pasa de positiva a negativa en c, la función sube y después baja: máximo relativo;
- si pasa de negativa a positiva: mínimo relativo;
- si no cambia de signo, no hay extremo.
En el ejemplo, f′ pasa de + a − en x = 2 (máximo relativo, con f(2) = 8 − 36 + 48 = 20) y de − a + en x = 4 (mínimo relativo, con f(4) = 64 − 144 + 96 = 16).
Criterio de la segunda derivada
Cuando f′(c) = 0 y f es dos veces derivable, hay un atajo. Si f″(c) > 0, la derivada está creciendo alrededor de c: pasa de negativa a positiva, y en c hay un mínimo relativo (la curva es cóncava hacia arriba, con forma de U). Si f″(c) < 0, hay un máximo relativo (cóncava hacia abajo, con forma de ∩). Si f″(c) = 0, el criterio no decide: x⁴ tiene un mínimo en 0 y x³ no tiene nada, y en las dos f″(0) = 0.
En el ejemplo, f″(x) = 6x − 18: f″(2) = −6 < 0 (máximo) y f″(4) = 6 > 0 (mínimo). Coincide con el criterio anterior.
| Primera derivada | Segunda derivada | |
|---|---|---|
| Qué mirar | Cambio de signo de f′ en c | Signo de f″(c), con f′(c) = 0 |
| Máximo relativo | f′ pasa de + a − | f″(c) < 0 |
| Mínimo relativo | f′ pasa de − a + | f″(c) > 0 |
| Cuándo falla | Nunca, si se puede estudiar el signo | Si f″(c) = 0 o si f′(c) no existe |
Con polinomios y funciones económicas usuales, la segunda derivada es más rápida; si da cero, volvés a la primera.
Extremos en un intervalo cerrado
Hasta acá hablamos de extremos relativos. Para los absolutos, el teorema de Weierstrass (de la unidad de continuidad) garantiza que una función continua en un intervalo cerrado [a, b] tiene máximo y mínimo absolutos. No dice dónde están: solo asegura que existen. Pero, combinado con lo anterior (si el extremo cae en un punto interior, ese punto es crítico), ya sabemos dónde pueden estar: en un punto crítico interior o en un borde. El método es:
- Hallar los puntos críticos dentro de (a, b).
- Evaluar f en cada uno de ellos y en los extremos a y b.
- El mayor de esos valores es el máximo absoluto; el menor, el mínimo absoluto.
Volvamos a f(x) = x³ − 9x² + 24x, ahora en [0, 6]:
| Candidato | Tipo | f(x) |
|---|---|---|
| x = 0 | borde | 0 |
| x = 2 | punto crítico | 20 |
| x = 4 | punto crítico | 16 |
| x = 6 | borde | 216 − 324 + 144 = 36 |
El máximo absoluto es 36 y está en el borde x = 6, aunque en x = 2 haya un máximo relativo; el mínimo absoluto es 0, en x = 0. Ni la primera ni la segunda derivada “ven” los bordes: hay que evaluarlos a mano. Y si el intervalo no es cerrado (por ejemplo, x > 0), el teorema no se aplica y la existencia del extremo se justifica con el estudio de signo.
Optimización con derivadas: tres ejercicios resueltos
En un problema de optimización el enunciado viene en palabras y la función hay que armarla. El esquema es siempre el mismo: identificar la cantidad a optimizar, escribirla como función de una sola variable (usando la restricción del problema para eliminar las demás), fijar el dominio con sentido, derivar, hallar los puntos críticos y decidir con un criterio, sin olvidar los bordes.
Ingreso máximo con demanda lineal
Una empresa enfrenta la demanda p = 120 − 2q (precio en pesos, q en unidades). ¿Qué cantidad maximiza el ingreso?
El ingreso es precio por cantidad: I(q) = (120 − 2q)·q = 120q − 2q². Para que el precio no sea negativo, 0 ≤ q ≤ 60. Derivamos: I′(q) = 120 − 4q, que se anula en q = 30. Como I″(q) = −4 < 0, ahí hay un máximo. Los bordes dan I(0) = I(60) = 0, así que el máximo es absoluto: I(30) = 3.600 − 1.800 = $ 1.800, con precio p = 120 − 60 = $ 60. Para verificar, I(29) = 1.798 e I(31) = 1.798: a ambos lados de 30 el ingreso es menor. I′(q) es el ingreso marginal, y en el máximo vale cero: vender una unidad más ya no suma.
Costo mínimo: el tamaño del pedido
El costo anual de administrar el stock de un producto, según cuántas unidades se piden cada vez (x), es C(x) = 180.000/x + 50x, con x > 0: el primer sumando son los costos de hacer pedidos (pedidos más grandes, menos pedidos al año) y el segundo, los de almacenar.
Reescribimos 180.000/x = 180.000·x⁻¹ y derivamos: C′(x) = −180.000/x² + 50, que se anula cuando x² = 3.600, es decir, en x = 60 (x = −60 queda fuera del dominio). C″(x) = 360.000/x³ > 0 para x > 0, así que hay un mínimo. Además, C′ < 0 si 0 < x < 60 y C′ > 0 si x > 60: la función baja hasta 60 y después sube, así que el mínimo es absoluto (sin intervalo cerrado, lo justifica el estudio de signo). El costo mínimo es C(60) = 3.000 + 3.000 = $ 6.000 al año. Control: C(30) = 7.500 y C(120) = 7.500.
Área máxima con perímetro fijo
Se quiere cercar un terreno rectangular con 80 m de alambrado. ¿Qué medidas maximizan el área?
Con lados x e y, la restricción es 2x + 2y = 80, o sea, y = 40 − x. El área queda en función de una variable: A(x) = x·(40 − x) = 40x − x², con 0 ≤ x ≤ 40. A′(x) = 40 − 2x se anula en x = 20, y A″(x) = −2 < 0 confirma el máximo. Los bordes dan área cero (rectángulos “aplastados”), así que el máximo absoluto es A(20) = 400 m², con y = 20: el cuadrado. Control: 10 × 30 da 300 m².
Errores frecuentes
1. Creer que f′ = 0 alcanza para que haya un extremo.
- ✗ “f′(0) = 0, entonces x³ tiene un extremo en 0.”
- ✓ x³ no tiene extremo en 0: f′ no cambia de signo. Falta aplicar un criterio.
2. Olvidar los bordes.
- ✗ “En [0, 6], el máximo de x³ − 9x² + 24x es 20, en x = 2.”
- ✓ El máximo absoluto es 36, en el borde x = 6, donde la derivada no vale cero (f′(6) = 24). Los bordes se evalúan a mano.
3. Ignorar el dominio del problema.
- ✗ “x² = 3.600, entonces el pedido óptimo es x = 60 o x = −60.”
- ✓ x = −60 sale de la ecuación, pero queda fuera de x > 0 y no es respuesta. Y en el problema del ingreso, cualquier cantidad mayor que 60 (por ejemplo q = 70, con precio 120 − 140 = −20) tampoco tiene sentido, aunque la fórmula de I(q) se pueda evaluar: el dominio con sentido económico se fija antes de derivar.
4. Confundir relativo con absoluto.
- ✗ “f″(c) < 0, entonces f(c) es el máximo de la función.”
- ✓ El criterio de la segunda derivada solo habla de lo que pasa cerca de c. Para el absoluto, comparás valores: puntos críticos y bordes.
5. Olvidar los puntos donde f′ no existe.
- ✗ “f′ no se anula en ningún punto, entonces no hay extremos.”
- ✓ Los puntos donde f′ no existe también son puntos críticos: |x| tiene su mínimo en uno de ellos.
Para cerrar
La optimización es el punto de llegada de la primera parte de Cálculo: necesita límites, continuidad y el cálculo de derivadas, en ese orden. En Cálculo 1A cierra el programa, y en Cálculo 1 (MC10) está al comienzo, junto con las funciones marginales y la elasticidad de la demanda. Para practicar, resolvé varios problemas de optimización siguiendo el esquema de arriba, cambiando la función de demanda, el costo o la figura geométrica; en cómo preparar un parcial en FCEA contamos cómo organizar esa práctica.
¿La optimización se te complica? En Delta Academia la trabajamos con problemas tipo parcial, paso a paso y en clases en vivo. Escribinos.